Jörg MEYER, Hameln
Eine Leiter rutscht eine Hauswand hinab, und zwar so, dass das obere Leiterende A stets die Wand und das untere Leiterende B stets den Erdboden berührt.
Welche Kurve beschreibt der Mittelpunkt C der Leiter? Es sieht so aus, als wenn sich der Mittelpunkt auf einem Viertel-Kreis bewegt.
Er ist anders gekrümmt, als man zunächst vermuten mag, und hat seinen Mittelpunkt offenbar in der Haus-Ecke O. Warum ist das so?
Lösung I: Man stellt sich die Leiter als ruhend vor und Fußboden und Hauswand als beweglich. Dann liegt die Ecke O zwischen Hauswand und Erdboden auf dem Thales-Kreis über der Leiter. Daher ist der Abstand zwischen Haus-Ecke O und Leiter-Mittelpunkt C konstant.
Lösung II: Man ergänzt die Konstellation aus Hauswand, Erdboden und Leiter zu einem Rechteck. Dessen Diagonalen halbieren einander und haben gleiche Länge. Daher ist der Abstand zwischen Haus-Ecke O und Leiter-Mittelpunkt C konstant.
Lösung III: Mit Leiterlänge 1 ist A=(0, sinα) und B=(cosα, 0). Daher ist C=(A+B)/2=((½)·cosα, (½)·sinα) ein Punkt auf dem Kreis um O mit Radius ½.
Welche Kurve beschreibt ein beliebiger Punkt P auf der Leiter? Der Erdboden sei OB, die Hauswand OA und die Leiter AB. Die Leiter habe die Länge 1. O sei Ursprung des Koordinatensystems. Ferner sei s der Abstand von P zu A und t=1-s der Abstand von P zu B.
Lösung 1: Wegen A=(0, sinα) und B=(cosα, 0) liegt P=t·A+s·B=(s·cosα, t·sinα) auf einer Ellipse.
Weitere Lösungen sind hier.
Offenbar können s und t negativ sein, d.h. der Punkt P kann auch auf der Verlängerung außerhalb der Leiter liegen.
Dies ist dass Grundprinzip des Ellipsographen nach Archimedes: An einer Stange sind fest zwei Rädchen angebracht, die sich in den weißen Aussparungen bewegen können, so dass die Stange verschiedene Positionen einnehmen kann. Dann beschreibt das Stangen-Ende eine Ellipse.
Was passiert, wenn mit der Leiter ein fester Punkt K außerhalb der Leiter verbunden ist? (Man kann sich etwa vorstellen, dass mit der Leiter ein Dreieck mit der Spitze K fest verbunden ist.)
K bewegt sich auf einer gedrehten Ellipse.
Begründungen für die Ellipsenform sind hier.