Jörg Meyer, Hameln
5. Jan. 2022
Angeregt durch Metzger, Einige Sätze über Vierecke, MNU 1962/63, S. 175-178, Satz 6, betrachte man ein
beliebiges Viereck ABCD und einen (variierten) Punkt P.
Die Schwerpunkte der Dreiecke PAB, PBC, PCD, PDA
bilden ein Parallelogramm, dessen Form und dessen Ausrichtung sich bei Variation von P nicht ändert.
Warum ist das so?
Wegen U = (A+B+P)/3, V = (P+B+C)/3, W = (P+C+D)/3, X = (P+D+A)/3 ist
V-U = (C-A)/3 = W-X usw., womit alles geklärt ist.
Die Kürze dieses Beweises zeigt, wie vorteilhaft die Rechnung mit Punkten ist.
Die Aussage überträgt sich auf Fünfecke; auch das aus den Schwerpunkten
U, V, W, X, Y gebildete Fünfeck ändert nicht seine Form und seine Ausrichtung, wenn P variiert wird.