Jörg Meyer, Hameln

29. Nov. 2021

Etwas über In-Ellipsen


Viele InEllipsenZu einem Dreieck gibt es viele In-Ellipsen.

Der Satz von Brianchon und eine Folgerung

Gergonne-Punkt Bei einem Dreieck schneiden sich die (blauen) Ecktransversalen durch die (roten) Berührpunkte des Inkreises bekanntlich in einem Punkt, der nach Joseph Diez Gergonne (1771-1859) benannt wird.

Gergonne-PunktDieser Sachverhalt lässt sich auf Ellipsen verallgemeinern, da Ellipsen affine Bilder eines Kreises sind.
Man wähle auf der Ellipse drei (rote) Punkte nach Belieben, die zugehörigen Tangenten schneiden sich in den schwarzen Punkten A, B, C.
Dann sind die (blauen) Verbindungslinien zwischen den roten und den gegenüber liegenden schwarzen Punkten kopunktal in dem nach Charles Julien Brianchon (1783 - 1864) benannten Punkt, der hier durchgängig mit X bezeichnet werden soll.

Insbesondere folgt die Erkenntnis, dass mit zwei Berührpunkten einer einem Dreieck einbeschriebenen In-Ellipse auch der dritte Berührpunkt festgelegt ist.
Ist in baryzentrischen Koordinaten X = (p : q : r) = (p⋅A+q⋅B+r⋅C)/(p+q+r), so sind die Berührpunkte gegeben durch
(p : q : 0) = (p⋅A+q⋅B)/(p+q), (p : 0 : r) und (0 : q : r).

Konstruktion und Gestalt einer Ellipse

Alle Punkte, die zu einem Leitkreis (mit Mittelpunkt Z und Radius 2⋅a) und zu einem Brennpunkt F, der innerhalb des Kreises liegt, bilden eine Ellipse.

Ell.-Konstr.
Ist K ein Punkt auf dem Kreis, so ist der zugehöige Ellipsenpunkt E der Schnittpunkt von ZK mit der Mittelsenkrechten zu FK.
Diese Mittelsenkrechte ist auch Ellipsentangente.
Wegen EF = EK = 2⋅a-EZ ist EF+EZ = 2⋅a.
Die Ellipse ist also bzgl. F und Z symmetrisch.
Ist Y der Mittelpunkt von Z und F, so ist Y auch Mittelpunkt der Ellipse.

Gestalt
Ist ZY = YF = f, so hat man wegen AF+AZ = 2⋅a die Aussage YA-f + YA+f = 2⋅a bzw. YA=a. Wegen BZ+BF=2⋅a ist BF=a. Mit YB=:b ist b2=a2-f2.

Man erkennt aus der Konstruktionsvorschrift auch, wie man zu einem Dreieck die In-Ellipse konstruiert, wenn zusätzlich ein Brennpunkt F vorgegeben ist: Man spiegele F an den Dreiecksseiten und bekommt dadurch drei Punkte des Leitkreises und damit diesen selber.

Spiegelung an der Tangente
Man erkennt auch die Spiegelungseigenschaft: Da die Tangente die Mittelsenkrechte von FK ist, sind der blaue und der grüne Winkel von gleicher Größe. Da der cyanfarbene Winkel Scheitelwinkel zum grünen ist, haben der grüne und der blaue Winkel gleiche Größe.

Die In-Ellipse mit den Brennpunkten M (Umkreismitte) und H (Höhenschnitt)

Will man zu einem Dreieck ABC eine In-Ellipse. so liegt es nahe, als Leitkreis den Umkreis mit Mittelpunkt M zu wählen.

MacBeath
Wählt man K als Schnittpunkt von AH mit dem Umkreis, so folgt, dass BC Tangente an die Ellipse ist.

MacBeathFilm
Analoge Wahlen von K zeigen, dass auch die beiden anderen Dreiecksseiten Tangenten sind.

Diese In-Ellipse wurde zuerst wohl 1865 von Joseph Serret (1819 - 1885) untersucht und ist nach Alexander Murray MacBeath (1923 - 2014) benannt.

Parallelen-Dreieck


Man kann sich überlegen, dass die Berühr-Punkte auf den Verbindungsgeraden von H mit den Eckpunkten des roten Parallelen-Dreiecks A'B'C' liegen.

Hyperbel

Wenn H außerhalb des Umkreises liegt, bekommt man keine Ellipse, sondern eine Hyperbel.

Isogonale Konjugation

Isogonale Konjugation

Gegeben sei ein Dreieck ABC.
Zwei Punkte F und G heißen zueinander isogonal konjugiert, wenn in der Abb. gleichfarbige Winkel gleiche Größe haben.

Der Schnittpunkt W der Innen-Winkelhalbierenden ist zu sich selbst isogonal konjugiert.

H und M
Der Höhenschnitt H und die Umkreismitte M sind zueinander isogonal konjugiert, da der Winkel β bei B aufgrund des Umfangswinkelsatzes auch bei M auftritt.

In-Ellipsen und isogonale Konjugation

Auch der Inkreis ist eine In-Ellipse, bei der beide Brennpunkte in W, dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, zusammenfallen.

Es fällt auf: Bei der MacBeath-Ellipse sind beide Brennpunkte zueinander isogonal konjugiert. Beim Inkreis ist dessen Mittelpunkt zu sich selbst isogonal konjugiert.

Sind bei jeder In-Ellipse beide Brennpunkte zueinander isogonal konjugiert?

Das ist tatsächlich so, und dazu sehen wir uns noch einmal die Konstruktion an: Winkel

Die Berührpunkte der Seiten AC und BC sind A' und B'. Das Dreieck CFA' wird an BC gespiegelt, und CB'Z wird an AC gespiegelt. Aufgrund der Spiegelungseigenschaft sind Z'B'F und ZA'F' jeweils kollinear.

Wegen Z'F = Z'B'+B'F = ZB'+B'F = 2⋅a und ZF' = ZA'+A'F' = ZA'+A'F = 2⋅a haben Z'F und ZF' gleiche Länge. Damit sind die Dreiecke Z'FC und ZF'C zueinander kongruent.

Damit haben die roten und cyanfarbenen Winkel die gleiche Größe.

Z und F sind also zueinander isogonal konjugiert (nach Akopyan/Zaslavsky: Geometry of Conics, 2007 Am. Mathem. Soc.).

Gilt auch die Umkehrung, d.h. führen zueinander isogonal konjugierte Punkte stets zu einer In-Ellipse?
Das ist tatsächlich der Fall, und dazu guckt man sich zunächst die Konstruktion an, wie man ausgehend von zwei Brennpunkten F und G und einer Geraden eine Ellipse erzeugt, die diese Gerade berührt. Y sei der Mittelpunkt von GF.

Eine Gerade Man spiegelt F an der Geraden mit dem Ergebnis K. Die Gerade schneidet GK in E. Das Dreieck FKE ist gleichschenklig.
Dann gilt erstens EF+EG = EK+EG = GK = 2⋅YX, E liegt also auf einer Ellipse mit den Brennpunkten F und G.
Zweitens haben der violette und der grüne Winkel gleiche Größe, aber auch der violette und der blaue.
Da der blaue und der grüne Winkel gleiche Größe haben, ist die vorgegebene Gerade Tangente an die Ellipse.

Zwei Geraden Die Konstruktion lässt sich an einer zweiten Geraden wiederholen.
Hier ist E2F+E2G = E2K2+E2G = K2G = 2⋅YX2.
Damit E1 und E2 auf derselben Ellipse liegen, muss Y denselben Abstand zu den Lotfußpunkten X1 und X2 von F haben.

Gemeinsamer Umkreis


Dazu überlegt man sich zunächst, dass die Fußpunkte A', B', C' bzw. A'', B'', C'' zweier zueinander isogonal konjugierter Punkte P und Q denselben Umkreis haben.
Ist σ der violette Winkel, dann ist AC' = AP⋅cos(σ) usw. und AC'' = AQ⋅cos(α-σ) usw., also AC'⋅AC''= AB'⋅aB'' usw.
Nach der Umkehrung des Sehnensatzes liegen die Lotfußpunkte alle auf einem gemeinsamen Kreis.
Dessen Mittelpunkt Y ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu C'C'' und zu B'B'', ist also der Mittelpunkt von PQ.
Damit liegen E1 und E2 auf derselben Ellipse. Wegen des Satzes von Brianchon bestimmen zwei Berührpunkte den dritten.

Gleichung und Mittelpunkt einer In-Ellipse in baryzentrischen Koordinaten

Quadriken haben die homogene Gleichung ρ⋅x2+σ⋅y2+τ⋅z2+ 2⋅(r⋅y⋅z+s⋅z⋅x+r⋅x⋅y) = 0. Da die sechs Koeffizienten ρ, σ, τ, r, s, t nur bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt sind, benötigt man fünf Punkte (oder fünf Tangenten), um die Quadrik festzulegen.

Berührpunkt-Konfiguration
Aufgrund des Satzes von Brianchon sind die Berührpunkte einer In-Ellipse Schnittpunkte der Ecktransversalen durch einen im Dreiecksinneren gelegenen Punkt X = (p : q : r) mit den gegenüber liegenden Seiten.

Die folgenden Rechnungen gestalten sich übersichtlicher, wenn man mit u=1/p, v=1/q, w=1/r rechnet. Die In-Ellipse hat dann die Gleichung x2⋅u2+y2⋅v2+z2⋅w2 = 2⋅(y⋅z⋅v⋅w + z⋅x⋅w⋅u + x⋅y⋅u⋅v).

Schneidet man diese Kurve mit der Seite AB (mit der Gleichung z = 0), bekommt man die Schnittgleichung (x⋅u-y⋅v)2 = 0 mit der doppelten Lösung C' = (v : u : 0) = (p : q : 0). Wegen u>0, v>0 liegt C' zwischen A und B. Analog begründet man, dass die Ellipse auch die beiden anderen Dreiecksseiten jeweils zwischen den Dreiecks-Ecken berührt.

Drei weitere Punkte
Auf der In-Ellipse liegen nicht nur die Berührpunkte, sondern auch die blauen Punkte (v : u: 4⋅u⋅v/w) = (p : q : 4⋅r) usw. Die Verbindungsgeraden zu den Berührpunkten sind kopunktal in X.

Zum Ellipsen-Zentrum
Interessanter sind die Kurvenpunkte C'' = (u⋅w : v⋅w : (u+v)2).
Der Mittelpunkt Y von C'' und C' ergibt sich nach etwas Rechnung zu Y = (v+w : w+u : u+v).
Aufgrund der Symmetrie der Koordinaten erkennt man, daß Y auch der Mittelpunkt der analog gebildeten Punkte A' und A'' sowie von B' und B'' ist.
Somit handelt es sich bei Y um den Mittelpunkt der In-Ellipse.

Man bekommt den Ellipsen-Mittelpunkt Y aus dem Brianchon-Punkt X wie folgt:

Von X zu Y

Zunächst bildet man X = (p : q : r) ab auf Q = (1/p : 1/q : 1/r) = (u : v : w).
X und Q heißen zueinander isotom konjugiert. Zwei Punkte haben diese Eigenschaft, wenn in der Graphik links gleichfarbige Strecken die gleiche Länge haben.
Dann muss man Q am Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden wie in der Graphik rechts stauchen.

Damit hat man, ausgehend von zwei Berührpunkten bzw. vom Brianchon-Punkt X, den Mittelpunkt Y der In-Ellipse gefunden.

Noch einmal der Satz von Brianchon, nun als Werkzeug zur Erzeugung von Tangenten und von Kurvenpunkten

Gergonne-Punkt allgemeinDer Satz von Brianchon handelt von Sechsecken, die einer Ellipse umbeschrieben sind und ist die duale Fassung eines von dem damals 16-jährigen Blaise Pascal (1623-1662) gefundenen Satzes über Sechsecke, die einer Ellipse einbeschrieben sind.
Beide Sätze gelten für beliebige (nicht ausgeartete) Kegelschnitte.

Die vollständige Fassung des Satzes von Brianchon geht von sechs beliebig gewählten (roten) Punkten auf einem Kegelschnitt (hier: auf einer Ellipse) aus, deren Tangenten sich in den schwarzen Punkten schneiden. Dann sind die (blauen) Verbindungsgeraden zwischen gegenüber liegenden schwarzen Punkten kopunktal.

Vom Sechseck zum DreieckRücken je zwei benachbarte rote Punkte zusammen, hat man die vorige Dreiecks-Version des Satzes.

Vom Sechseck zum ViereckMan kann auch ein Tangenten-Viereck erzeugen.
Man beachte, dass der Satz von Brianchon eine Aussage über die schwarzen Punkte macht.

Dreieck und Viereck Dieser Sachverhalt lässt sich verwenden, um weitere Tangenten zu In-Ellipsen eines Dreiecks zu konstruieren.
Gegeben seien das Dreieck ABC und die beiden Berühr-Punkte D und E (D zwischen B und C, E zwischen A und C).

P wandere auf BC.
X ist der Schnittpunkt von DE mit AP.
BX schneidet AC in Q.
Dann ist PQ Tangente (Konstruktionsidee nach H. Dörrie, Triumph der Mathematik, Kapitel 64).

Viele TangentenDamit hat man nicht nur drei, sondern beliebig viele Tangenten.

5 Tangenten

Hat man aber 5 Tangenten, bekommt man leicht etwa von der oberen Tangente den Berührpunkt.
Wird nun die obere Tangente variiert, variiert auch deren Berührpunkt, so dass man auf diese Weise alle Punkte der Ellipse bekommt.

Man kann also zu zwei Berührpunkten, die nicht außerhalb des Dreiecks liegen, eine In-Ellipse konstruieren.
Damit ist gezeigt, dass jeder Punkt im Dreiecksinneren Brianchon-Punkt einer In-Ellipse ist.

Da es zu jeder In-Ellipse den Brianchon-Punkt gibt, hat man somit eine bijektive Beziehung zwischen In-Ellipsen und Punkten im Dreiecksinneren.

Man wird diesen Sachverhalt auf beliebige Punkte und auf An-Ellipsen übertragen wollen, muss sich jedoch dann darum kümmern, dass An-Kegelschnitte auch Hyperbeln oder Parabeln sein können.

Oben wurde der Zusammenhang zwischen dem Brianchon-Punkt X und dem Ellipsen-Mittelpunkt Y erläutert. Dass die eigentlich interessanteren Brennpunkte nicht einfach zugängig sind, zeigen schon die In-Ellipsen mit dem einfachst-möglichen Brianchon- bzw. Mittelpunkt:

Die Steiner'sche In-Ellipse

SteinerBei der nach Jakob Steiner (1796 - 1863) benannten In-Ellipse stimmen Brianchon- und Mittelpunkt überein, und das ist nur möglich, wenn es sich um den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden handelt. Die Berührpunkte sind dann die Seitenmitten.

Nach einem wohl zuerst von Jörg Siebeck 1864 publizierten und nach Morris Marden (1905 - 1991) benannten Resultat gilt folgendes:
Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf und die Punkte A, B, C als komplexe Zahlen, so sind die Brennpunkte F und G der Steiner'schen In-Ellipse die Nullstellen der Ableitung von (Z-A)⋅(Z-B)⋅(Z-C).